Непрерывные и дискретные модели. непрерывные и дискретные

Риск, как и лежащая в его основе неопределенность, подразумевает возможность наступления различных по последствиям исходов, каждый из которых вероятен в большей или меньшей степени. С математической точки зрения это может быть описано (и далее измерено) с использованием случайных величин (СВ). Существуют дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретными называют такие СВ, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывные СВ могут принимать любые значения из некоторого замкнутого или открытого

(в т.ч. бесконечного) интервала.

В самом простом случае, когда существует конечное множество исходов, каждый из которых имеет фиксированные (неслучайные) последствия, риск может быть описан с помощью одной дискретной

с луча йно й ве личины.

Риск убытков от хищения автомобиля в течение некоторого периода времени для собственника может быть описан дискретной случайной величиной, имеющей два исхода с фиксированными последствиями (рис. 5.1):

1) «хищение не произошло», последствия равны нулю;

2) «хищение произошло», последствия равны стоимости автомобиля.

Для обоих исходов последствия принимают заранее известные неслучайные значения.

Риск хищения автомобиля

Начальное состояние

Возможные исходы

Последствия

(фиксированные)

Стоимость автомобиля

Рис. 5.1. Пример дискретной модели риска хищения автомобиля

Рис. 5.2. Пример комбинированной дискретно-непрерывной модели риска повреждения автомобиля в ДТП

Когда риск связан с изменением показателя, который может принять любое значение на некотором интервале, можно достаточно просто моделировать риск, описав данный показатель с помощью непрерывной случайной величины, распределенной на ука занно м интер ва ле.

Риск инвестора, купившего акции конкретного эмитента по определенной цене. В будущем возможны отклонения курса этих акций как в большую, так и в меньшую сторону по отношению к цене покупки. При этом отклонения в меньшую сторону являются неблагоприятными, что и составляет риск инвестора. Он может быть описан с помощью непрерывной случайной величины, характеризующей его потери или выгоду (т.е. последствия) в зависимости от цены акции. Эти последствия могут принимать любые значения в интервале от «минус цена покупки» до «плюс бесконечность». Однако, если брать достаточно короткий период прогнозирования, то курс акций, скорее всего, не уйдет далеко от ожидаемого значения, хотя такие отклонения все-таки возможны.

Дискретные или непрерывные модели могут комбинироваться при описании конкретной рисковой ситуации. Например, если в дискретной модели последствия всех или отдельных исходов могут принимать множество значений непредвиденным для субъекта способом, то они должны описываться непрерывной случайной ве личино й.

В результате ДТП автомобиль может получить различные повреждения, убытки от которых могут достичь его стоимости (или даже превысить ее). Однако такие тяжелые последствия маловероятны. Предсказать заранее, какие именно повреждения получит автомобиль и каков будет ущерб, нельзя. Поэтому риск убытков от повреждения автомобиля в дорожно-транспортном происшествии в отдельной поездке может быть описан с помощью двух случайных величин (рис. 5.2):

1) дискретной, характеризующей возможность наступления ДТП и имеющей два исхода («ДТП не произошло» и «ДТП произошло»), и

2) непрерывной, описывающей размер ущерба (последствия) в случае его наступления.

При этом убытки (последствия) от исхода «ДТП не произошло» неслучайны и равны нулю.

В зависимости от особенностей описываемого (моделируемого) риска, целей исследования и требуемой подробности одну и ту же ситуацию неопределенности можно представлять как в виде дискретной, так и в виде непрерывной модели, а также в виде их ком б ина ции.

Риск хищения имущества на предприятии в течение года можно количественно описать с использованием:

а) дискретной модели, использующей дискретную случайную величину (СВ), которая может принимать два («краж не было» –

«кража(и) были») или более значений («краж не было» – «была

1 кража» – «было 2 кражи» и т.д.);

б) непрерывной модели, при которой риск описывается непрерывной СВ «убытки от краж за год»;

в) комбинации указанных моделей, сочетающей, например, использование дискретной СВ «количество краж в течение года» и непрерывной СВ «размер убытка от одной кражи».

В любом случае, когда риск описывается с использованием случайных величин (дискретных или непрерывных), необходимо знать их распределение (его вид и значения параметров распределения) или хотя бы численные характеристики этих величин (прежде всего, математическое ожидание, дисперсию или среднеквадратическое отклонение). Тогда можно говорить о том, что риск измерен (количественно оценен). В результате изучения различных случайных процессов для некоторых случайных величин, используемых при моделировании рисков, подобраны наиболее удачно описывающие их виды распределения.

Полная информация о распределении описывающей риск случайной величины, безусловно, очень полезна. Однако для простого сравнения рисков часто достаточно знать только две характеристики: математическое ожидание и численную характеристику разброса значений относительно него (дисперсию или среднеквадратическое отклонение (СКО)).

Процессы в линейных импульсных и цифровых системах автоматического управления описываются дискретно – разностными уравнениями вида:

где x(n) –решетчатая функция входного сигнала; y(n) –решетчатая функция выходного сигнала, которая определяется решением уравнения (1.2); b k – постоянные коэффициенты;
– разность к – го порядка; t=nT , где nT – n– ый момент времени, T – период дискретности (в выражении (1.2) он условно принят за единицу).

Уравнение (1.2) можно представить в другом виде:

Уравнение (1.3) представляет собой рекуррентное соотношение, которое позволяет вычислить любой (i+1) –й член последовательности по значениям предыдущих её членов i,i-1,... и значению x(i+1).

Основным математическим аппаратом моделирования цифровых автоматических систем является Z– преобразование, которое базируется на дискретном преобразовании Лапласа. Для этого необходимо найти импульсную передаточную функцию системы, задаться входной переменной и, варьируя параметрами системы, можно найти лучший вариант проектируемой системы.

1.3.4. Дискретно – стохастические модели (р - схемы)

К дискретно – стохастической модели относится вероятностный автомат . В общем, виде вероятностный автомат является дискретным потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Поведение автомата зависит от случайного выбора.

Применение схем вероятностных автоматов имеет важное значение для проектирования дискретных систем, в которых проявляется статистически закономерное случайное поведение.

Для Р – автомата вводится аналогичное математическое понятие, как и для F – автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (x i ,z s ) , где x i и z s элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и
, что с их помощью осуществляется отображение
и
, то говорят, чтоопределяет автомат детерминированного типа.

Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний

(автомат со случайными переходами). Функция выходов также есть распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами).

Для описания вероятностного автомата введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (z k ,y j ) , где y j – элемент выходного подмножества Y . Далее потребуем чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

элементы из Ф...

...

...

где – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала y j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступал сигнал x i .

Число таких распределений, представленных в виде таблиц равно числу элементов множества G. Если обозначить это множество таблиц через В, то тогда четверку элементов
называютвероятностным автоматом (Р – автоматом). При этом
.

Частным случаем Р– автомата, задаваемого как
являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано(Z– детерминированный вероятностный автомат, Y– - детерминированный вероятностный автомат соответственно).

Очевидно, что с точки зрения математического аппарата задание Y – детерминированного Р – автомата эквивалентно заданию некоторой марковской цепи с конечным множеством состояний. В связи с этим аппарат марковских цепей является основным при использовании Р– схем для аналитических расчетов. Подобные Р– автоматы используют генераторы марковских последовательностей при построении процессов функционирования систем или воздействий внешней среды.

Марковские последовательности , согласно теореме Маркова, –это последовательность случайных величин, для которой справедливо выражение

,

где N – количество независимых испытаний; D– - дисперсия.

Такие Р– автоматы (Р– схемы) могут быть использованы для оценки различных характеристик исследуемых систем как для аналитических моделей, так и для имитационных моделей с использованием методов статистического моделирования.

Y – детерминированный Р– автомат можно задать двумя таблицами: переходов (табл.1.1) и выходов (табл.1.2).

Таблица 1.1

Таблица 1.2

Где P ij – вероятность перехода Р– автомата из состояния z i в состояние z j , при этом
.

Таблицу 1.1 можно представить в виде квадратной матрицы размерности
. Такую таблицу будем называть матрицей переходных вероятностей или просто матрицей переходов Р- автомата , которую можно представить в компактной форме:

Для описания Y– детерминированного Р–автомата необходимо задать начальное распределение вероятностей вида:

где d k– вероятность того, что в начале работы Р– автомат находится в состоянии z k , при этом
.

И так, до начала работы Р– автомат находится в состоянии z 0 и в начальный (нулевой) такт времени меняет состояние в соответствии с распределением D. После этого смена состояний автомата определяется матрицей переходов Р. С учетом z 0 размерность матрицы Р р следует увеличить до
, при этом первая строка матрицы будет (d 0 ,d 1 ,d 2 ,...,d k ) , а первый столбец будет нулевым.

Пример. Y– детерминированный Р– автомат задан таблицей переходов:

Таблица 1.3

и таблицей выходов

Таблица 1.4

С учетом таблицы 1.3 граф переходов вероятностного автомата представлен на рис.1.2.

Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состоянии z 2 и z 3 , т.е. когда на выходе автомата появляются единицы.

Рис. 1.2. Граф переходов

При аналитическом подходе можно использовать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. Причем начальное состояние можно не учитывать в виду того, что начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда таблица 1.3 примет вид:

где
– финальная вероятность пребыванияY– детерминированного Р– автомата в состоянии z k .

В результате получаем систему уравнений:

(1.4)

К данной системе следует добавить условие нормировки:

(1.5)

Теперь решая систему уравнений (1.4) совместно с (1.5), получаем:

Таким образом, при бесконечной работе заданного автомата на его выходе будет формироваться двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной:
.

Кроме аналитических моделей в виде Р– схем можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.

Предварительные замечания. Рассмотрим многомерную систему автоматического управления, где в качестве регулятора используется БЦВМ, связанная с непрерывным объектом с помощью ЦАП и АЦП (рис.1.4). Будем считать, что измеряемый векторный выход объектаквантуется с помощью АЦП в моментытак, что на входе БЦВМ действует векторная решётчатая функция. В БЦВМ реализуется определённый алгоритм управления и на её выходе формируется последовательность дискретных значений управляющих воздействий, которую также можно рассматривать как векторную решётчатую функцию. Здесь для простоты положим, что разрядность ЦАП и АЦП достаточно высока, так что эффектом квантования по уровню можно пренебречь.

Пусть непрерывный объект представляется дифференциальными уравнениями в форме Коши

(2.4.1)

где –числовые матрицы соответствующих размеров.

Будем считать, что ЦАП и АЦП работают синхронно (с одинаковым периодом), но не синфазно, и пусть выдача рассчитанных управлений производится с задержкой на, где–относительное запаздывание, так что на ЦАП поступает смещённая решётчатая функция. Таким образом, эквивалентная схема принимает вид рис.2.5.

Рис. 2.5.

Очевидно, что непрерывный объект управления (2.4.1) совместно с ЦАП, АЦП и звеном задержки можно рассматривать как некоторую эквивалентную дискретную систему, на входе и выходе которой действуют решётчатые функцииисоответственно. Как и в случае импульсных систем, разностные уравнения, описывающие эту систему, должны быть такими, чтобы их решения относительно переменных выхода и состояний совпадали прис соответствующими непрерывными функциями. Эти разностные уравнения как раз и будут являться дискретной моделью непрерывного объекта в системе управления с БЦВМ в контуре. Причём, эта модель, очевидно, будет зависеть от способа восстановления непрерывного процессапо его дискретам.

Применение экстраполяции нулевого порядка. Пусть операция ЦА-преобразования сопровождается формированием управленияметодом фиксации на период (экстраполяция нулевого порядка). Тогда функциябудет кусочно-постоянной (рис.2.6), удовлетворяющей условию

Для определения дискретной модели объекта (2.4.1) при условии (2.4.2) рассмотрим -ый интервал дискретности.

Рис. 2.6.

В соответствии с рис.2.6, этот интервал можно разбить на два под-интервала. На первом подинтервале, когда, на объект действует постоянное управление, а на втором – постоянное управление. Учитывая сказанное и используя формулу Коши (2.3.3), определим состояниев конце интервала по известному состояниюв начале интервала. Будем иметь

Преобразуем это выражение, используя для первого интеграла замену , а для второго –. Тогда после преобразований и перехода к решётчатым функциям получим

Обозначим

и учтём, что квантование выхода производится в моменты. Тогда окончательно, искомая дискретная модель примет вид

. (2.4.4)

Анализируя формулы (2.4.3), заметим, что матрицы изависят от величины запаздывания. Так, если(запаздывание отсутствует), тои мы получим дискретную модель непрерывного объекта без запаздывания. Если же, то, и тогда уравнения (2.4.4) будут представлять дискретную модель с "чистым" запаздыванием на один такт.

Отметим также, что при разностные уравнения (2.4.4) формально не являются уравнениями в форме Коши, так как в правой части первого уравнения присутствует переменная, сдвинутая на один такт по отношению к другим. Для устранения этого "недостатка" введем вектор дополнительных состояний , . Тогда нетрудно показать, что расширенная дискретная модель с вектором состояний , представится в следующем эквивалентном виде

(2.4.5)

где - новый вектор измеряемых переменных объекта, расширенных за счет управлений из предыдущего такта.

Таким образом наличие запаздывания привело к увеличению размерности дискретной модели по сравнению с размерностью непрерывного объекта. Это позволяет учесть запаздывание при синтезе алгоритмов работы БЦВМ (дискретных регуляторов), так как формально уравнения (2.4.5) представляют дискретную модель объекта без запаздывания, но повышенной размерности.

Применение экстраполяторов -го порядка. При рассмотрении этого вопроса для простоты ограничимся случаем . Кроме того, также для простоты, будем считать, что управлениеявляется скалярным (). Тогда, если для реализации этого управления используется метод экстраполяции-го порядка, то на интервалеуправлениебудет определяться выражением (1.4.10), то есть

, (2.4.6)

где производные () могут быть вычислены по дискретам,в соответствии с алгоритмом (1.4.16).

Переходя к определению дискретной модели непрерывного объекта (2.4.1) запишем состояние этого объекта в конце-го интервала дискретности по известному состояниюв начале интервала. Используя формулу Коши, будем иметь

.

Подставляя (2.4.6) и производя замену , после преобразований и перехода к решетчатым функциям, получим

Здесь учтено, что значения производных остаются постоянными в течение каждого интервала дискретности. Обозначим

,,.

Тогда (2.4.7) примет вид

.

Введем матрицу . Тогда, если использовать обозначение (1.4.12) для вектора, получим

где - определяется выражением (1.4.14), а- обозначает-мерный вектор (1.4.12), составленный из дискрет.

Обозначим столбцы матрицы через. Тогда учитывая структуру вектора, окончательно получим искомую дискретную модель

. (2.4.9)

Заметим, что несмотря на то, что по предположению управляющее воздействие формируется без задержки по отношению к моментам съема информации, дискретная модель (2.4.9) содержит запаздывания по управлению натактов одновременно. Как уже отмечалось в разделе 1.4, этот факт обусловлен использованием для формирования управленияэкстраполяции-го порядка.

Запишем полученную модель в эквивалентной форме с помощью расширенного состояния. Для этого введем вспомогательные переменные

Очевидно, что в этом случае

Тогда, если ввести вектор расширенного состояния

а также новый вектор измеряемых переменных

расширенный за счет управлений из предыдущих тактов, то (2.4.9) можно представить в следующем эквивалентном виде

, (2.4.10)

где ,,- матрицы размеров,,соответственно, имеющие следующую блочную структуру

, ,. (2.4.11)

Уравнения (2.4.10) представляют дискретную модель непрерывного объекта в системе управления с БЦВМ и экстраполятором -го порядка. Эта модель составлена для скалярного управления, и учет экстраполятора привел к тому, что ее размерность увеличилась напо сравнению с размерностью непрерывного объекта. Очевидно, что если рассматривать случай векторного управления, то формально дискретная модель (2.4.10) останется без изменения, но вводимые дополнительные переменныестанут векторными и общая размерность модели составит.

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, Y, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т.е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т.е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, у) = |х - у |). Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х ≤ у ) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены соответствующие операции, например, линейные: х + у , х*у . Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (1) – (3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Таким образом, приходим, например, к линейным моделям: y = au + b , dy/dt = ay + bu и т.д., являющихся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает различие между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические-динамические», «дискретные-непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в таблице 2 , где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Таблица 2

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Типы систем	Статические	Динамические
Дискретные по U.Y	Непрерывные по U.Y	Дискретные по Т	Непрерывные по Т
Дискретные по U, Y	Непрерывные по U,Y	Дискретные по U,Y	Непрерывные по U, Y
Математический аппарат описания	Графы, таблицы соответствий, булева алгебра	Функции вещественных переменных	Конечные автоматы	Разностные уравнения	Асинхронные автоматы, сети Петри, модели теории расписаний	Обыкновенные дифференциальные уравнения
Методы оценки параметров и анализа	Методы математической логики	Методы интерполяции и аппроксимации	Теория конечных автоматов	Идентификация, теория устойчивости	Методы идентификации	Идентификация, численное интегрирование ОДУ
Методы синтеза	Дискретное программирование, метод Куайна, карты Карно	Методы оптимизации (линейное и нелинейное программирование)	Динамическое программирование, методы синтеза микропрограммных автоматов	Динамическое программирование, дискретный принцип максимума	Динамическое программирование, теория расписаний	Теория управления, методы оптимизации
Области применения	Качественные модели исследования операций	Количественные модели исследования операций	Цифровые САУ, ГАП, логическое управление	Импульсные и цифровые САУ	Параллельные процессы в ЭВМ и ГАП	САУ, механические, тепловые, электронные и др. процессы

Примечание: U - множество входов, Y - множество выходов системы

Модели состояния динамических систем

Модели общего вида

Важнейшую роль при описании динамических систем играет понятие состояния. Состояние - это совокупность величин (вектор) , которые определяют (вместе с входным воздействием) будущее поведение системы.

В общем случае уравнения состояния – это системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка вместе с уравнениями для выходных величин. Начальное состояние представляет, «память» системы о прошлом. Модель состояния непрерывной динамической системы записывается в виде

(4)

(5)

где u 1 , …, u m - входные переменные, y 1 , …, y l - выходные переменные, x 1 , …, x n -переменные состояния. Вводя векторные обозначения, можно записать (5) в более компактном виде:

(6)

где , , .

Для моделей состояния справедлив следующий факт: любая нелинейная динамическая система может быть представлена как соединение линейных динамических и нелинейных статических звеньев.

Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифференциальные) системы

(7)

частным случаем которых являются неявные системы

(8)

Линейные модели

Часто вместо (5) используют упрощенные ММ, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории удовлетворяющей уравнениям

Тогда можно записать приближенную линеаризованную модель в отклонениях от этого режима:

(10)

Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (10) также не зависят от времени: A(t)=A , B(t)=B и т.д. Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые более простыми уравнениями

, у = Сх . (11)

Матрицы А, В, С являются параметрами модели (11).

Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то стараются, по возможности, выбрать ММ линейную по параметрам:

где А - матрица параметров порядка n × N , - нелинейная функция. К этому классу относятся, в частности, билинейные объекты.

Сказанное выше относится и к уравнениям дискретных по времени систем. Уравнения дискретной системы в общем случае имеют вид

, . (12)

Дискретным аналогом уравнений линейной стационарной системы (20) являются уравнения:

(13)

Наряду с уравнениями состояния широкое применение находят также модели в переменных «вход-выход» и модели, описываемые передаточными функциями. Для непрерывного времени уравнение «вход-выход» имеет вид

A(p)y(t)=B(p)u(t), (14)

где р = d/dt - символ дифференцирования по времени, , , причем в (14) всегда m < n . Дробно-рациональная функция называется передаточной функцией системы (14), а полином А(λ) - ее характеристическим полиномом . Если уравнение (14) получено из (11), то

(15)

Они справедливы и в случае, когда вход и выход системы (11) являются векторами, при этом - матрица. Пользуясь (15), можно показать, что замена переменных состояния в (11) по формуле , где Т - неособая n×n матрица (det T = 0), не приводит к изменению передаточной функции (15). Это значит, что обратный переход от описания «вход-выход» к уравнениям состояния (11) неоднозначен: при сохранении передаточной функции базис в пространстве состояний можно выбирать по-разному. На практике применяются несколько типовых способов перехода от передаточной функции к уравнениям состояния. Эти способы соответствуют так называемым каноническим представлениям системы. Опишем один из них, приводящий к управляемому каноническому представлению . Вместо (13) вводятся два уравнения.

Дискретные и непрерывные модели.

Структурные и функциональные модели.

В случае если в моделях первого вида отражается структура (устройство) изучаемой системы, представляющая собой набор взаимосвязанных элементов системы, то в функциональных моделях внимание уделяется не описанию структуры системы, а количественному описанию того, как данная система реагирует на внешние воздействия. В этом случае полученную модель называют "черным ящиком". Структурные модели, как правило, строятся для хорошо структуризованных систем. Функциональные модели строятся, в основном, для хорошо структуризованных процессов. Возможно, так же сочетание этих двух видов моделœей, в результате чего может получиться гибридная модель, позволяющая описывать слабо структуризованные системы и процессы. Примером таких моделœей являются системно-динамические модели, предназначенные для описания эколого-экономических процессов. Структурные модели используются, к примеру, в теории фирмы при изучении монополии или потребительского выбора. Примером применения функциональных моделœей может служить теория производственных функций.

Такое делœение моделœей исходит из делœения всœех величин на дискретные, принимающих значения в конечном числе точек выбранного интервала и непрерывные, принимающие значения на всœем интервале. Конечно, возможен и промежуточный случай. Как правило, большинство математических моделœей допускают как дискретную, так и непрерывную интерпретацию. В случае если в дискретном случае описание моделœей ведется на языке сумм и конечных разностей, то в непрерывных моделях - на языке интегралов и бесконечно-малых приращений. В качестве примера дискретных экономико-математических моделœей можно привести широко распространенные модели, связанные с целочисленным программированием, математической теорией игр, сетевым планированием. К числу непрерывных моделœей относятся различные модели математической экономики, в том числе рыночного равновесия, многие оптимизационные модели.

Линœейные и нелинœейные модели. Такое делœение моделœей исходит от характера взаимосвязей между элементами системы. В случае если в линœейных моделях предполагается линœейная зависимость между переменными, описывающими модель, то в нелинœейных моделях присутствуют связи между элементами, задаваемые нелинœейными функциями. Примером использования линœейных и нелинœейных моделœей в экономике является решение задач линœейного и соответственно нелинœейного программирования. В случае если линœейными моделями, как правило, описываются простые системы, то нелинœейными моделями, к числу которых относится большинство системно-динамических моделœей, описываются сложные системы. Возможно, также выделœение смешанных моделœей, примером которых бывают слабо нелинœейные модели.